Geometría para tu psicodelia
El don de la geometría analítica.
Hola, probablemente si estás aquí es
por que estas buscando puntos de vista sobre los diversos temas de la geometría
analítica. Bueno déjame ponerte en contexto el actual blog esta hecho como
proyecto para la actual materia (Geometría analítica) y esta elaborado por
Santiago Arath Martínez Terán y José Armando Trujillo Alvarez.
Esperamos que el presente pueda
aclarar ciertas dudas que puedan llegar a tener y en caso de necesitar reforzar
un conocimiento poder ayudarlos con eso. Es importante mencionar que no somos
poseedores de la verdad absoluta, así que hacemos una invitación a que
investiguen mas sobre el tema de su interés ya que siempre puede haber dudas en
cuanto a algo.
De esta manera la primera pregunta
que deberíamos tener es el ¿Que es la geometría analítica? A lo que estas pesando su respuesta es que la
geometría analítica es una rama de las matemáticas que estudia con profundidad
las figuras, sus distancias, sus áreas, puntos de intersección, ángulos de
inclinación, puntos de división, volúmenes, etc. Es un estudio más profundo
para saber con detalle todos los datos que tienen las figuras geométricas.
*Segmento
El concepto de segmento describe a la
porción de una recta que está delimitada por dos puntos. Desde la perspectiva
de la geometría, una recta es producto de la unión de infinitos segmentos y
puntos; el segmento, en cambio, sólo es una porción de recta unida por un par
de puntos.
De esta manera quedamos que para que
algo sea un segmento debe ser en si solo una parte de un algo, en mi caso personal
para asimilarlo me imagine que teníamos una barda enfrente de nosotros y que
solo la mitad estaba pintada de esta manera la parte que tiene pintura sería el
segmento representado en ese contexto.
Estableciendo una tipología podemos
hablar, por tanto, de las siguientes clases de segmentos:
Segmento nulo, aquel cuyos extremos
coinciden.
Segmentos consecutivos son los que
tienen un extremo en común.
Segmentos adyacentes son dos
segmentos consecutivos que forman parte de la misma recta.
*Sistemas de referencias
Un sistema de referencia es un
conjunto de coordenadas espacio-tiempo que se requiere para poder determinar la
posición de un punto en el espacio. Un sistema de referencia puede estar
situado en el ojo de un observador.
En las clases a lo largo del parcial
estuvimos trabajando con coordenadas y ubicándonos por medio del eje de
coordenadas, ahora estuvimos trabajando con una herramienta que desde la
secundaria incluso primaria en algunos casos la hemos usado y quiero partir de aquí
por que eso es un sistema de coordenadas.
Probablemente no somos conscientes de
lo que estamos haciendo, las instrucciones son hagan esto y ok lo hacemos es
trabajo, pero el misterio está en él porque el que es esto y esa es la magia y
el encanto. Por eso siempre he pensado que el peor error de un maestro es
suponer que el alumno lo sabe todo.
*Funciones
circulares
Denominamos funciones trigonométricas
circulares a aquellas funciones trigonométricas referenciadas en la
circunferencia.
Escuchando el contexto de las
funciones trigonométricas lo más natural seria que
te preguntaras el que es una de ellas
y en si lo que son es una razón de lo que esta
pasando, como si tuviéramos un triángulo
x y la relación entre sus lados es una
función trigonométrica, rescato el
comentario que hice en el transcurso de la materia por que es el encontrarle el
sentido a ese algo que sabes que lo tiene y descubrir el porqué.
Las funciones trigonométricas son
útiles para estudiar un movimiento vibratorio u
oscilante, como puede ser el de una
partícula de una cuerda de guitarra en vibración, o un resorte que se ha
comprimido o estirado, para luego soltarlo y dejarlo oscilante de un lado a
otro.
Si queremos representar en forma
gráfica una función trigonométrica tomamos los valores de la variable
independiente como abscisas y los valores de la función como ordenadas,
obteniendo así una serie de puntos, los que al unirlos nos dará una línea que
será la representación gráfica de la función.
Tutorial:
https://www.youtube.com/watch?v=lzEYWwyZF6s
Ejemplo:
https://www.uaeh.edu.mx/scige/boletin/prepa3/n1/m10.html
*Ley
de senos y cosenos
Ley
de los senos
La ley de los senos es la relación
entre los lados y ángulos de triángulos, para usar la ley de los senos necesita
conocer ya sea dos ángulos y un lado del triángulo o dos lados y un ángulo
opuesto de uno de ellos.
El tercer ángulo del triángulo es
C = 180° – A – B = 180° – 30° – 20 °
= 130°
Por la ley de los senos
45 =
b = c
Sin30 sin 20 sin 130
45 sin 20 = 30.78
y c= 45 sin 130 = 68.94
Sin 30 sin 30
Ley de los cosenos
La ley de los cosenos establece:
c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab cos C .
La ley de los cosenos también puede
establecerse como
b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac cos B or
a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc cos A .
Para encontrar los ángulos faltantes,
ahora es más fácil usar la ley de los senos.
Ejemplo tomado de: https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/law-of-cosines
Línea
recta
En geometría euclidiana, la recta o
la línea recta es una línea que se extiende en una misma dirección; por lo
tanto, tiene una sola dimensión y contiene un número infinito de puntos. Dicha
recta también se puede describir como una sucesión continua de puntos
extendidos en una sola dirección
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| La recta |
Dependiendo lo que hemos visto
alrededor de la vida podemos decir que esta formado por puntos. Que vistos de
cierta forma obtenemos una recta, en un plano de vista mas general nos
encontramos rodeados de ellas y las usamos a nuestro favor para crear un
ambiente más amigable.
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| Líneas rectas en la vida cotidiana |
GeoGebra
y las rectas
Durante el transcurso de la materia estuvimos trabajando con varias descripciones graficas en el plano que, para un entendimiento mas acercado y exacto, el docente nos proporciono el conocimiento de una herramienta de uso publico en internet llamada GeoGebra la cual facilita en mayor medida la elaboración de un gráfico.
GeoGebra es un software matemático
interactivo libre para la educación en colegios y universidades. Su creador
Markus Hohenwarter, comenzó el proyecto en el año 2001, como parte de su
tesis, en la Universidad de Salzburgo, lo continuó en la Universidad Atlántica
de Florida (2006-2008), luego en la Universidad Estatal de Florida (2008-2009)
y en la actualidad, en la Universidad de Linz, Austria.
Llevar a cabo una recta en esta misma
herramienta es tan fácil como digitar unos cuantos números a modo de ecuación y
el programa lo convierte en una representación grafica
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| Líneas rectas en GeoGebra a partir de ecuaciones |
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| Actividad hecha en clase a base de GeoGebra con ecuaciones |
Geometría
y sombras
¿Qué es una sombra? En efecto esa es
la pregunta que trataremos en esta
oportunidad de abrir la puerta del
conocimiento y dejarnos proyectar algo tan
común como lo es una sombra.
Una sombra es una región de oscuridad
donde la luz es obstaculizada o esconde
dejando un tono negruzco como una
arboleda. Ocupa todo el espacio detrás de un
objeto, es más, es el mismísimo
objeto opaco con o sin una fuente de luz frente a
él.
Muy probablemente salíamos de noche a
jugar a las escondidas y cuando corríamos
para salvarnos veíamos a alguien
atrás de nosotros, pero no era un amigo si no que
era nuestra sombra. El punto nos
lleva a la curiosidad que sentimos por saber el
porque de la sombra, pero si nosotros
proyectamos una sombra con nuestra simple
presencia y sin intención podríamos
hacerlo a propósito con objetos?
La respuesta es sin duda una magnificencia
que es clarifica lo que somos capaces
de hacer.
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| Ejemplo de sombra fabricada |
Circunferencia
La
circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo C(a, b) que llamamos centro.
Una circunferencia puede tratarse de todo y nada, puede ser una fruta, pelota, llanta o el dibujo de una cabeza hecha por un niño de la primaria. Es eso lo que nos envuelve en una circunferencia y que se distingue por su peculiar forma redonda a veces mas amplia otras veces mas reducida.
La circunferencia podemos trabajarla de diferentes formas tanto artístico como matemático. a continuación unos ejemplos del lado matemático.
Ejemplo: Hallar la ecuación general de la
circunferencia con centro C(2;6) y radio r = 4
(x
- 2)² + (y - 6)² = 4²
X²
- 2(2x) + 2² + y² - 2(6y) + 6² = 4²
X²
- 4x + 4 + y² - 12y + 36 = 16
X²
+ y² - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
X²
+ y² - 4x - 12y + 24 = 0
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| Elementos de una circunferencia. |
Elipse
Se
trata de una circunferencia achatada que se caracteriza porque la suma de las
distancias desde cualquiera de sus puntos P hasta otros dos puntos denominados
focos (F y F') es siempre la misma.
Ten
en cuenta que para cualquier punto de la elipse siempre se cumple que:
Donde
d(P,F) y d(P,F') es la distancia de un punto genérico P al foco F y al foco F'
respectivamente.
Elementos
de la elipse
Los
siguientes elementos se encuentran en cada elipse:
Centro:
Es el punto de intersección de los ejes. Es, además, centro de simetría.
Eje
principal o focal: Es el eje en el que se encuentran los focos. Es un eje de
simetría.
Eje
secundario: Es el eje perpendicular al eje principal, mediatriz del segmento
que une los focos.
Vértices:
Puntos de intersección de la elipse con los ejes.
Distancia
focal: Distancia entre los focos. Su longitud es 2·c.
Semidistancia
focal: Distancia entre el centro y cada foco. Su longitud es c.
Semieje
mayor o principal: Segmento entre el centro y los vértices del eje principal.
Su longitud es a.
Semieje
menor o secundario: Segmento entre el centro y los vértices del eje secundario.
Su longitud es b y cumple
Radios
vectores: Cada punto de la elipse cuenta con dos radio vectores que son los
segmentos que unen dicho punto a cada uno de los focos. Para un punto P(x , y)
se cumple que d(P , F) = a -e·x y d(P, F') = a+e·x
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| Ejemplo de elipse |
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| Ejemplo de una parábola |
Foco: Es el punto fijo F.
Directriz: Es la recta fija d.
Parámetro: Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.
Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
Vértice: Es el punto de intersección de la parábola con su eje.
Radio vector: Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.
3D
Que es 3D o tridimensional, esa es la duda que se nos presenta al escuchar el termino, pero esta mas presente de lo que podríamos imaginar en nuestras vidas. En física, geometría y análisis matemático, un objeto o ente es tridimensional si tiene tres dimensiones. Es decir, cada uno de sus puntos puede ser localizado especificando tres números dentro de un cierto rango. Ejemplo: anchura, altura y profundidad.
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| Diferencias entre dimensiones |
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| Representación 3D en GeoGebra |
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